2024-2025学年高一上学期数学期末考点《对数与对数函数》含答案解析.docxVIP

试题

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试题

清单08对数与对数函数

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】对数概念

1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.

特别的：规定,且的原因：

①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.

②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.

③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.

2、常用对数与自然对数

①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为

②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作

说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

【清单02】指数式与对数式的相互转化

当且，

【清单03】对数的性质

①负数和零没有对数.

②对于任意的且,都有，，；

③对数恒等式:（且）

【清单04】对数的运算性质

当且，,

①

②

③（）

④（）

⑤（）

【清单05】对数的换底公式

换底公式：（且，，，且）

特别的：

【清单06】对数函数的概念

1、对数函数的概念

一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.

判断一个函数是对数函数的依据

（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.

2、两种特殊的对数函数

特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.

【清单07】对数函数的图象及其性质

函数的图象和性质如下表：

底数

图象

性质

定义域

值域

单调性

增函数

减函数

【考点题型一】指数与对数综合运算

【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式：

(1)；

(2).

【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）求值：

(1)；

(2).

【变式1-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）求下列各式的值．

(1)

(2)

【考点题型二】指数式与对数式的相互转化

核心方法：

【例2】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（????）

A． B． C．1 D．2

【变式2-2】（多选）（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点题型三】利用换底公式化简求值

核心方法：换底公式：（且，，，且）

特别的：

【例3】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（???）

A． B．

C． D．若，则.

【变式3-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算：

(1)；

(2)．

【考点题型四】有附加条件的对数求值问题

【例4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；

（2）已知，，①用，表示；??②用，表示．

【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示.

【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示.

【变式4-3】（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：.

（2）设，，试用，表示.

【考点题型五】对数函数概念辨析

【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知下列函数：

①y＝log(－x)(x＜0)；

②y＝2log4(x－1)(x＞1)；

③y＝lnx(x＞0)；

④，(x＞0，a是常数)．

其中为对数函数的是(只填序号)．

【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题

【例6】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．

【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的定义域为．

【变式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.

【考点题型七】对数函数过定点问题

核心方法：

【例7】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（????）

A．13 B． C． D．8

【变式7-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（????）

A． B． C． D．

【变式7-2】（24-25高二上·云南昭