最优控制-汉密尔顿函数.pptVIP

1波尔札问题设系统状态方程2(5-18)3(5-19)4初始状态x(t0)=x0，终始状态x(tf)满足式中N——q维向量函数，n≥q。性能泛函其中Φ、L都是连续可微的数量函数，tf是待求的终端时间。最优控制问题是寻求控制矢量u*(t)，将系统从初态x(t0)转移到目标集N[x(tf),tf]=0上，并使J取极小。(5-20)01在这类极值问题中，要处理两种类型的等式约02束。一是微分方程约束，一是终端边界约束。根据03拉格朗日乘子法，要引入两面两个乘子矢量，一个04是n维λ(t)，另一个是q维μ，将等式约束条件泛函05极值化成无约束条件泛函极值问题来求解。写出哈密顿函数(5-21)为此，构造增广泛函(5-22)于是01(5-23)0201对上式中最后一次作分部积分，得02(5-24)(5-25)(5-27)(5-26)这是一个可变端点变分问题。考虑x(t)，u(t)，tf相对于它们最优值x*(t)，u*(t)，t*f的变分，并计算由此引起J′的一次变分δJ′。设2341图4可变终端各变分间的关系从图4可知在端点处变分之间存在下列近似关系01式中δx(t*f)——x在t*f时的一次变分；δx(t*f+δtf)——x在tf=t*f+δtf时的一次变分。式(5-28)描述了在可变终端情况下，x在这两个时刻上变分的近似关系，近似式中忽略了高阶无穷小量。02(5-28)03考虑到式(5-24)右边第一项和第二项的一次01.变分各有两项：02.因此，有01(5-29)02(5-30)02注意到δtf、δx、δu任意性，及泛函极值存在的必要条件δJ′=0式(5-29)可得极值必要条件如下：01式中H[x(tf),u(tf),λ(tf),tf]函数H最优轨线终端处的值。(5-32)终端时刻由下式计算(5-31)边界条件x(t0)=x0终端时刻由下式计算式中H[x(tf),u(tf),λ(tf),tf]函数H最优轨线终端处的值。上述总共个2n+r+q+1方程，可联解出2n+r+q+1个变量。(5-32)最后，分析哈密尔顿函数沿最优轨线随时间的变化规律。哈密顿函数H对时间的全导数为01(5-33)02第五章用变分法求解连续最优控制问题—有约束条件的泛函极值最优控制问题中，泛函J所依赖的函数总要受到受控拉格朗日乘子法，将这种有约束条件的泛函极值问上节讨论没有约束条件的泛函极值问题。但在系统状态方程的约束。解决这类问题的思路是应用题转化为无约束条件的泛函极值问题。拉格朗日问题考虑系统——n维连续可微的矢量函数。(5-1)式中STEP4STEP3STEP2STEP1设给定，初始状态为x(t0)=x0，终端状态x(tf)自由。性能泛函为寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态x(t0)=x0转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值。(5-2)将状态方程式(5-1)写成约束方程形式01应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函02式中λ(t)——待定的n维拉格朗日乘子矢量。03(5-3)0401称H[x,u,λ,t]为哈密尔顿函数。则02或03(5-4)04(5-5)05(5-6)06式中07(5-7)定义纯量函数对式(5-5)右边第二项作分部积分，得将上式代入式(5-5)，得(5-8)u*(t)的变分为δu和δx，计算由δu和δx引起的设u(t)和x(t)相对于最优控制u*(t)及最优轨线使J′取极小的必要条件是，对任意的δu和δx，都有δJ′=0成立。J′的变分为：因此得01(5-9)02(5-10)03(5-11)04(5-12)0501式(5-9)称为动态系统的伴随方程或协态方程，02λ又称为伴随矢量或协态矢量。03式(5-10)即系统的状态方程。04式(5-9)与式(5-10)联立称为哈密尔顿正则方程。05式(5-11)称为控制方程，0102030405这个方程是在假设δu为任意，控制u(t)取值不受约束条件下得到的。如果u(t)为容许控制，受到的约束，δu变分不能任意取值，那么，关系式不成立，这种情况留待极小值原理中讨论。(5-13)(5-14)式(5-12)称为横截条件。常用于