《分部积分法》课件.ppt

主讲教师:

王升瑞

高等数学

第二十七讲

分部积分法

由上节可知，

基础上得到的，

积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：

等，换元积分法就不一定有效了。

本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数

公式推得另一个求积分的基本方法

——分部积分法

换元积分法是在复合函数求导公式的

是一种应用广泛的积分法则。

但是当被

由微分公式

两边同时积分得:

1)v容易求得;

容易计算.

分部积分公式

设函数

具有连续导数

分部积分法

例1.求

解:

则

∴原式

型

提示:

则

原式

型

思考:如何求

原式

解：原式

小结：若被积函数是幂函数

和正（余）

弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设

。这样通过一次分部积分，就可以使

幂函数的幂次降低一次。即在

中，总令

幂函数为

例2：求

解：原式

例3求

型

解：令

原式＝

例4求

解:令

,则

原式=

例5.求

例6.求

解:

原式

原式=

解:

例7.求

例8：求

解：原式＝

小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积，即有

例9.求

解:

原式

再令

,则

故原式=

说明:1。也可设

为三角函数,但两次所设类型

必须一致.

2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，

但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中

象解代数方程那样解出所求的积分来。

解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积,

按“反对幂指三”的顺序,

反:反三角函数

对:对数函数

幂:幂函数

指:指数函数

三:三角函数

例10.求

解:令

则

原式

令

（先用换元，后用分部积分）

例11求

解:令

原式

原式

说明:

分部积分题目的类型:

1)直接分部化简积分;

2)分部产生循环式,由此解出积分式;

(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加C)

3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递

推公式.

例11.已知

的一个原函数是

求

解:

说明:此题若先求出

再求积分反而复杂.

例12.求

解:

令

则

内容小结

分部积分公式

1.使用原则:

2.使用经验:

3.题目类型:

分部化简;

循环解出;

递推公式

容易求出

比

好求。

思考与练习

1.下述运算错在哪里?应如何改正?

得0=1

答:不定积分是原函数族,相减不应为0.

求此积分的正确作法是用换元法.

作业

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