用正交变换化二次型为标准型.ppt

关于用正交变换化二次型为标准型第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日一、正交变换法定义.定理.使得-*-第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日-*-用正交变换化二次型为标准形的步骤则为正交矩阵,且第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日-*-第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日例2.求一个正交变换化为标准形,并求正交变换矩阵.解：把二次型二次型的矩阵为：其特征多项式为：-*-(1)求的特征值：第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日把第2,3,4列都加到第1列上,有把第2,3,4行分别减去第1行,有-*-第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日按第1列展开按最后1行展开,得于是，的特征值为：-*-(2)求的特征向量：解方程组第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日得基础解系为：得基础解系为：解方程组将Schmidt正交化得正交向量组：-*-第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日将单位化得：-*-第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日于是，正交矩阵为所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：-*-第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日例3.用正交变换将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：对应的线性无关的特征向量为-*-第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日将单位化得：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：-*-第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。例如,画图步骤：(1)令特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为：用正交变换化实二次型为标准形的应用-*-第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日所以，正交矩阵为：且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形：因此双曲线的图形为以方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转-*-第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日