高中数学提升考点03 等式与不等式的性质7类常见考点全归纳（精选52题）（解析版）.docxVIP

考点03等式与不等式的性质7类常见考点全归纳（精选52题）

考点一比较两个数(式)的大小

考点二不等式的性质及应用

考点三求代数式的取值范围

考点四不等式的证明

考点五糖水不等式

考点六不等式的实际应用

考点七不等式的综合问题

知识点1两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab,a－b＝0?a＝b?a，b∈R?,a－b0?ab))

(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1?ab,\f(a,b)＝1?a＝b?a∈R，b0?,\f(a,b)1?ab))

知识点2等式的基本性质

（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；

（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b

知识点3不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

a＞b，c＞0?ac＞bc；

注意c

的符号

a＞b，c＜0?ac＜bc；

同向可加性

a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

?

同向同正

可乘性

a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

?

可乘方性

ab0?anbn

(n∈N，n≥1)

a，b同

为正数

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

(n∈N，n≥2)

a，b同为正数

归纳拓展

1．ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

2．a0b?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

3．ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d).

4．若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)．

1、比较两数(式)大小的方法

作差法

作商法

原理

设a，b∈R，则

a－b0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b0?ab

设a0，b0，

则eq\f(a,b)1?ab；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)1?ab

（若，则；；.）

步骤

作差并变形（配方、因式分解、通分等）?判断差与0的大小?得结论

作商并变形（配方、因式分解、通分等）?判断商与1的大小?得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.）

注意

利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形

作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等

注：比较两实数大小的方法

（1）作差(商)法：作差(商)?变形?判断．

（2）构造函数法：利用函数的单调性比较大小．

①利用函数性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．

②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较．

③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．

实例：【多选】(2023·邯郸高三期末)设0ab1,0c1，则()

A．ln(ca＋1)ln(cb＋1)

B．(c＋1)a(c＋1)b

C．abaaba

D．logcalogcb

【解析】因为0ab1,0c1，所以函数y＝ax，y＝logcx均是减函数，所以abaa，logcalogcb，所以C、D不正确；

又由函数y＝lnx是增函数，y＝cx是减函数，可得cacb，则ca＋1cb＋1，

所以ln(ca＋1)ln(cb＋1)，所以A正确；

因为0c1，可得c＋11，所以函数y＝(c＋1)x是增函数，可得(c＋1)a(c＋1)b，所以B正确．故选AB.

（3）中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量.

利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间值．指数式比较大小，一般选取1或指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0或1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．

实例：(2024·吉林一中月考)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，则()

A．xyz B．zxy

C．zyx D．yzx

【解析】因为x＝lnπlne＝1，y＝log52log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,\r(e))eq\f(1,2)且z＝e－eq