人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第19讲 双曲线中的最值问题题型总结（解析版）.doc

第19讲双曲线中的最值问题题型总结

题型目录

题型一：利用焦半径范围求最值

题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围

题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值

典型例题

题型一：利用焦半径范围求最值

【例1】（2022·全国·高二）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（??????????）

A． B．渐近线方程为

C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是

【答案】BCD

【分析】由焦点坐标可求得值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．

【详解】依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，，

渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是，

故选：BCD．

【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可.

【详解】

因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，

所以，因为，，所以，，

所以，将代入得：

.

故选：B．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M?N分别是两圆和上的点，则的最大值为（???????）

A．6 B．9 C．12 D．14

【答案】B

【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可.

【详解】

因为双曲线方程为，故，则其焦点为，

根据题意，作图如下：

则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；

，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；

则，

故可得，

故的最大值为：.

故选：B.

【题型专练】

1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a0，b0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，即，

|PF|的最小值即为焦点到渐近线的距离，故，

即，∴，.

故选：D

2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求最小值，则要尽可能小，要尽可能大,所以在双曲线的右支上,则，所以，消元转化为对勾函数求最值

【详解】

若求最小值，则要尽可能小，要尽可能大

所以在双曲线的右支上

渐近线

又因为???所以

由双曲线定义，当在双曲线的右支上，

当且仅当，即时取等号

因为右支上的顶点到最小，最小为

所以不到等号，当时，取最小值

最小值为：

故选：B

3．（2022·重庆·三模）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（???????）

A．的周长 B．的周长与之差

C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，可判断A，根据双曲线定义求解可判断B，设，则根据商与积的值可判断CD．

【详解】

如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，故A不正确；

的周长为

所以的周长与之差为，故B正确；

设，则，

由不是常量，故C不正确；

由为常量，故D正确；

故选：BD

题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围

【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．

【详解】若，，且，

则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，

∴，，∴双曲线方程为，

其渐近线方程为，

则曲线上存在点满足，

等价于与双曲线相交，∴．

故答案为：．

【题型专练】

1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，进而求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.

【详解】

由题意，点且满足，

根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，

其中，可得，则，

可得双曲线的渐近线方程为，

又因为点满足方程，即，

结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.

故选：B.

2．（2022·