人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第25讲 圆锥曲线直线圆过定点问题（原卷版）.doc

第25讲圆锥曲线直线圆过定点问题

【题型目录】

题型一：直线过定点问题（设直线为）

题型二：直线过定点问题（利用坐标写出直线方程）

题型三：圆过定点问题

【典型例题】

题型一：直线过定点问题（设直线为）

此类问题，我们一般设直线为，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出与之间的关系，即可求出定点。

【例1】（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

【例2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.

【例3】（2022·全国·高二单元测试）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.

（i）证明：；

（ii）证明：直线AB过定点.

【例4】（2022·河南安阳·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．

【题型专练】

1．（2022·河北保定·高一阶段练习）椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别为，，上顶点为B，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点作关于x轴对称的两条不同的直线和，交椭圆于点，交椭圆于点，且，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

2．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知椭圆C：（）的短轴长为2，，分别为椭圆C的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且，证明：直线l恒过定点.

3．（2022福建·南靖县第一中学高二期中）已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．

(1)求椭圆的方程

(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）已知椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A?B，

(1)求b的值；

(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；

(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若.证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆M：（ab0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点.

(1)求的方程；

(2)已知点，直线与交于、两点，若的平分线垂直于轴，证明：过定点.

7．（2022·江西省铜鼓中学高二期末（文））已知椭圆的焦点为，且过点．

(1)求的方程；

(2)设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左?右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

题型二：直线过定点问题（利用坐标写出直线方程）

此类问题，我们可以求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为的形式，即可求出定点。

【例1】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线过定点，并求定点的坐标．

【题型专练】

1．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.

(1)求E的方程；

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定