人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第26讲 圆锥曲线中定值问题（原卷版）.doc

第26讲圆锥曲线中定值问题

【题型目录】

题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题

题型二：圆锥曲线中三角形四边形面积定值问题

题型三：圆锥曲线中有关斜率定值问题

题型四：圆锥曲线中有关向量定值问题

题型五：圆锥曲线中角为定值问题

【典型例题】

题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题

【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．

(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；

(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．

【例2】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【例3】（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知点B是圆C:上的任意一点，点F（，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.

(1)求动点Р的轨迹E的方程;

(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明:△FMN的周长为定值.

【例4】（2022·北京·高三开学考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．

【例5】（2022·湖南师大附中高三阶段练习）设分别是圆的左?右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A?B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.

【例6】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．

(1)求椭圆的方程；

(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．

【例7】（2022·江苏·高二专题练习）已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.

(1)求的方程；

(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

【题型专练】

1．（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．

2．（2022·湖北·高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.

(1)求曲线的方程；

(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.

4．（2023·全国·高三专题练习）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．

(1)求的方程；

(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．

①为定值；

②．

6.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的C的方程：．

(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．

(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．

(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．

7．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一个动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线交椭圆于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，且．试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

8．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点．

(1)求C的方程；

(2)点P是圆上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别