人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第28讲 圆锥曲线存在性问题（原卷版）.doc

第28讲圆锥曲线存在性问题

【典型例题】

【例1】（江西省智慧上进2023届高三上学期入学摸底考试数学（文）试题）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．

(1)求C的标准方程；

(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【例2】（2021·山东·高三开学考试）已知椭圆C：.

(1)求椭圆C的离心率和长轴长；

(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

【例3】（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左?右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心?椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

【例4】（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足

(1)求动点的轨迹方程

(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.

(1)求双曲线C的方程；

(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A?B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【例6】（2022·福建厦门·高二期末）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．

(1)求C的方程；

(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.

(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；

(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；

(3)若直线与轴不垂直，问：在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出的关系；如果不存在，说明理由.

【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．

【例9】（2022·安徽省宣城市第二中学高二期末）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足

(1)求点的轨迹方程；

(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形

【例10】（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．

(1)求的方程，并说明是何种曲线：

(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．

【例11】（2022·四川成都·三模（理））已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．

(1)求椭圆C和抛物线E的方程；

(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【例12】（2022·辽宁辽阳·二模）已知椭圆：的左焦点为，上顶点为.直线与椭圆交于另一点，且，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程.

(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

【例13】（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有，

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为，若，垂足为M，判断是否存在定点N，使得为定值，若存在求出点N，若不存在，说明理由．

【例14】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））设圆的圆心为，点与点关于原点对称，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点M，记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点，曲线C上是否存在点B