第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系（知识清单+13类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）.docx

第09讲2.5.1直线与圆的位置关系

课程标准

学习目标

①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。

②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。

③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。

④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。

通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题.

知识点01：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系

直线与圆

的位置关

系的图象

直线与圆的

位置关系

相交

相切

相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法

2.1几何法（优先推荐）

图象

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相交。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相切。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相离。

2.2代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

①直线与圆相交

②直线与圆相切

③直线与圆相离

【即学即练1】（多选）（23-24高二上·广东肇庆·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（????）

A． B．??

C． D．????

【答案】ABD

【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解.

【详解】直线过定点，显然点在圆内，

因此直线与圆必相交，C错误；

而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能.

故选：ABD

知识点02：直线与圆相交

记直线被圆截得的弦长为的常用方法

1、几何法（优先推荐）

①弦心距（圆心到直线的距离）

②弦长公式：

2、代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

弦长公式：

【即学即练2】（23-24高二·全国·课后作业）圆截直线所得的弦长等于（????）

A． B． C．1 D．5

【答案】A

【分析】方法一，先求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，

方法二，将直线方程与圆的方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合弦长公式可求得答案

【详解】方法一??圆的方程可化为，

则圆的半径，圆心到直线的距离，

所以直线被圆截得的弦长为．

方法二设直线与圆相交于点，．

由，得，则，，

所以．

故选：A

【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法

（1）几何法．设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则．

（2）代数法．设直线与圆相交于点，，由，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式得出结果．

知识点03：直线与圆相切

1、圆的切线条数

①过圆外一点，可以作圆的两条切线

②过圆上一点，可以作圆的一条切线

③过圆内一点，不能作圆的切线

2、过一点的圆的切线方程（）

①点在圆上

步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则

步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）

②点在圆外

记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出

（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）

3、切线长公式

记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；

【即学即练3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（????）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.

【详解】因为圆，

所以圆的圆心为，半径为，

因为与圆相切，切点为B，

所以，则，

因为，

所以.

故选：B.

知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为，圆的半径为

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

【即学即练4】（23-24高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.

【详解】∵圆，∴圆心，半径，

∴圆心到直线的距离，

∴圆上的点到

直线的距离最小值为，

故选：A.

题型01判断直线与圆的位置关系

【典例1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【答案】C

【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.

【详解】由直线，可得直线过定点，

又由圆：，可得点在圆C上，

因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.

故选：C.

【典例2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（?