第9讲 导数的几何意义切线方程（解析版）.docx

第9讲导数的几何意义切线方程

【考点分析】

考点一：曲线在点处的切线方程

①把切点的横坐标带入导函数，得

②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为

考点二：过一点的切线方程

①设切点为，则斜率

②利用切点和斜率写出切线方程为：，

③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）

【题型目录】

题型一：曲线在点处的切线方程

题型二：过一点的切线方程

题型三：切线平行、垂直、重合问题

【典型例题】

题型一：曲线在点处的切线方程

【例1】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.

【详解】

∵

∴，所以，

又当时，，

所以在点处的切线方程为：，即.

故选：A.

【例2】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（???????）

A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0

C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0

【答案】B

【解析】

【分析】

将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.

【详解】

解：因为，所以，所以．

又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．

故选：B.

【例3】（2022·湖北·高三阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（????）

A． B．1 C．0 D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义即可求得函数在某点处的切线斜率.

【详解】因为，

所以，

所以在点处的切线斜率为.

故选：B.

【例4】（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））已知曲线与直线交于点，设曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义及点斜式，再利用累乘法及对数的运算性质即可求解.

【详解】由题意可知，，所以点，

因为，所以，

所以函数在点处的切线的斜率为，

切线的方程为.

令，得，

所以，

所以

.

所以的值为.

故选：C.

【例5】（2021·陕西·安康市教学研究室二模（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切，则___________．

【答案】2或10

【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，然后切线方程与抛物线方程联立利用判别式为零即得.

【详解】令，，

则，

可得曲线在点处的切线方程为，

联立，

得，

则，

解得或.

故答案为：2或10.

【例6】（2022·全国·高二课时练习）曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是__________．

【答案】

【分析】求出导函数，由二次函数性质求出导数的最小值，进而得切线斜率与切点坐标，从而即可求解．

【详解】解：由题意，

所以时，，又时，，

所以所求切线的方程为，即．

故答案为：．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】利用诱导公式将曲线化简，再将代入可为切点，再对曲线，用特值法即可求得在处的切线斜率，利用直线点斜式即可解得.

【详解】因为，

所以，切点为.

而，

令，得,

所以,

所以曲线在点处的切线的斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为.即.

故答案为:.

【例8】（2022·辽宁·高二期末）已知曲线的方程为，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】或

【分析】求导函数，求切线斜率，最后用点斜式即可写出切线方程

【详解】，，由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即

故答案为：

【例9】（2022·北京市十一学校高二期末）曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】.

【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，而，，

因此曲线在点处的切线方程为：

，

故答案为：.

【例10】（2022·江西赣州·高二期末（文））函数的图象在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求解即可

【详解】由题意，，故，故函数的图象在点处的切线方程为，即

故答案为：

【例11】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

因为，所以，即切线的斜率，

设切线的倾斜角为，则

又因为，所以或，

即切线的倾斜角的范围为.

故选：B.

【题型专练】

1．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）函数在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．