第31讲 空间几何体体积及点到面的距离问题4种题型（原卷版）.docx

第31讲空间几何体体积及点到面的距离问题4种题型

【题型目录】

题型一：三棱锥体积

题型二：四棱锥的体积

题型三：分割作差法求多面体的体积

题型四：点到面的距离问题（等体积法）

【典型例题】

题型一：三棱锥体积

三种思路：1.直接找高

2.转换顶点

3.转化为大的棱锥的倍数

【例1】如图，在正三棱锥P﹣ABC中，，．

(1)求P﹣ABC的体积．

【例2】如图，在直三棱柱中，，，平面，点为侧棱上一个动点.

(1)求此直三棱柱的表面积；

(2)当最小时，求三棱锥的体积.

【例3】如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）．

(1)证明：平面；

(2)若点在线段上，且，求三棱锥的体积．

【例4】如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.

(1)若M为PB的中点，证明：面PAD；

(2)求三棱锥的体积.

【例5】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．

(1)证明：平面ACM；

(2)求三棱锥N－ACM的体积．

【题型专练】

1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.

(1)求三棱锥的体积；

2．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求证：∥平面；

3．如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，求三棱锥的体积.

4.如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，E是的中点，，．

(1)求证：；

(2)是线段上的点，且满足．求三棱锥的体积．

题型二：四棱锥的体积

【例1】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点.

(1)求四棱锥的体积；

【例2】如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．

(1)求证：；

(2)求多面体的体积．

【例3】如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求四棱锥的体积．

【例4】如图所示，在四棱雉中，，，点M在线段SB上，且平面SAD．

(1)求的值，并说明理由；

(2)若，，求四棱雉的体积．

【例5】如图，在长方形中，，，M为DC的中点.将沿AM折起得到四棱锥，且.

(1)证明：；

(2)若E是线段DB上的动点，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2，求的值.

【例6】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.

(1)求正四棱锥P－ABCD的体积；

(2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：；

【题型专练】

1．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.

(1)求四棱锥的体积；

2．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为．

(1)求四棱锥的体积；

(2)证明：．

3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积.

4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求四棱锥的体积.

5．如图，三棱锥中，平面平面，点在线段上，且，点在线段上，且平面.

(1)证明：平面；

(2)若四棱锥的体积为7，求线段的长.

6．如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.

（1）证明：图②中平面平面；

（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.

题型三：分割作差法求多面体的体积

【例1】如图，在四棱锥（图一）和三棱锥（图二）中，四边形为正方形，平面，≌，将四棱锥和三棱锥重新组合成一个新的几何体（图三），且面和面完全重合，且，．

(1)证明：平面；

(2)求四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比．

【例2】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求多面体的体积.

【例3】刍（chu?）甍（me?ng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.

(1)求证：；

(2)若已知，求该五面体的体积.

【例4】如图所示，在直三棱柱中，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)设，求几何体的体积.

【例5】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒