2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（含答案）.docxVIP

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2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间向量a=(2,n,?1)，b=(?2,1,2)，若a与b垂直，则|a|

A.5 B.7 C.3

2.若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,3)，c=2，则该椭圆的标准方程为(????)

A.x29+y24=1 B.

3.已知可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)=0，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列结论不一定成立的是(????)

A.f′(1)f(1)

B.f′(5)f(5)

C.f′(2)=f(2)

D.f′(3)f′(4)f′(5)

4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点，则yx?2的最小值为(????)

A.?23

B.?32

C.

5.甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去.若甲不去A工厂，乙不去B工厂，则不同的分配方式共有(????)

A.12种 B.17种 C.21种 D.24种

6.已知数列{an}为等差数列，{bn}

A.b4b6≥a4a6

7.如图，双曲线C：x2a2?y24a=1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于点

率为(????)

A.52

B.5

C.

8.已知函数f(x)=(x+2)sinx+cosx，若存在x1，x2∈[0,π2](x1

A.(0,12) B.(12,1)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且a

A.数列{an}是等比数列 B.{Sn}是等比数列

C.a5=81

10.已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：(x+1)2

A.与圆C1，C4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支

B.与圆C2外切、C3内切的圆的圆心轨迹是椭圆

C.过点C1且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线

D.

11.设曲线C：x2+y2

A.曲线C关于直线y=x对称 B.曲线C的周长为2π

C.曲线C围成的图形的面积大于5 D.曲线C

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(x?2)6的二项展开式中，x3

13.已知曲线y=1ex?lnx与直线y=ax+4(a∈R)相切，则a=

14.已知O为坐标原点，过A(1,0)作x轴的垂线交直线y=kx于点B，C满足OB=2BC，过B作x轴的平行线交E：y2=x于点P(P在B的右侧)，若∠OPC=3∠OBA，则sin

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数f(x)=13x3+ax2?3x(a∈R)在x=?3处取得极值．

(1)求实数a的值；

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠ABC=90°，BC=CD=12AB=2，E为棱AB的中点．

(1)证明：AD//平面PEC；

(2)若∠PBA=60°，求直线PA与平面

17.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点A(4,a)在抛物线C上，且|AF|=5．

(1)求抛物线C的方程，并求a的值；

(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若点B(?1,2)满足∠MBN=90°，求直线l的方程．

18.(本小题17分)

设函数f(x)=cosx(1+sinx)?1，x∈R．

(1)求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)判断y=f(x)在区间[0,2π]上的零点个数，并说明理由；

(3)若实数a满足?x∈[0,π6]，f(x)≤x+ax

19.(本小题17分)

卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列{an}，{bn}，定义无穷数列cn=k=1nakbn+1?k(n∈N?)，记作{an}?{bn}={cn}，称为{an}与{bn}的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即{cn}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{an}?{bn}={bn}?{an}.

(1)若an=n，bn=3n，{an}?{b

参考答案

1.D?

2.B?

3.B?

4.C?

5.B?

6.A?

7.C?

8.C?