2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷

一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{x|2x≥3}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）

A．[log23，2） B．（0，log23] C．（0，+∞） D．（﹣∞，log23]

2．下列函数的求导正确的是（）

A．（e﹣x）′＝e﹣x B．(lnx

C．(ex+ln3)=ex+13

3．已知函数f(x)=cosx+x2，x∈[0，

A．π6或5π6 B．

C．(5π6，-

4．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图像大致是（）

A． B．

C． D．

5．如图，在三棱锥A﹣BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝2，点E为BC中点，若直线AE与CD所成的角为60°，则三棱锥A﹣BCD的体积等于（）

A．23 B．43 C．2 D

6．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，若对于任意x1＞x2＞0都有f（x1）＜f（x2），则实数a的范围是（）

A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1]

7．已知直线y＝x+m与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，则m的值为（）

A．±2 B．±3 C．±2 D

8．一个小球作简谐振动，其运动方程为h(t)=10sin(πt-π3)，其中h（t）（单位：cm）是小球相对于平衡点的位移，t

A．1 B．56 C．12 D

9．等比数列{an}满足a1＝32，q=-12，记Tn＝a1a2…an（n∈N+），则数列{T

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

10．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an-1

①数列{an}每一项an都满足0＜an≤1（n∈N*）

②数列{an}的前n项和Sn＜2；

③数列{an}每一项an都满足an≤2

④数列{an}每一项an都满足an

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④

二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．

11．双曲线y225-x29=1的实轴长为

12．在复平面内，复数z对应点的坐标为Z（1，2），则z的虚部为，|zi|=

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn﹣an＝1，则an＝，数列{|an|}的前n项和Tn＝．

14．已知等边△ABC的边长为4，E，F分别是AB，AC的中点，则EF→?EA→=；若M，N是线段BC上的动点，且|MN|＝1，则EM

15．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像如图所示．

（1）函数f（x）的最小正周期为．

（2）将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）为偶函数，则t的最小值是．

三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．

16．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1＝an+2，S2＝a3．

（1）若a1，a3，am成等比数列，求m的值；

（2）若数列{an+bn}为等比数列，a1＝b1，a2＝b2，求数列{bn}的前n项和Tn．

（3）设cn=an2-2

17．（13分）在△ABC中，bcosC+ccosB＝2acosA．

（1）求角A的大小；

②再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：c＝2a；

条件②：c＝8；

条件③：cosC=1

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．

（1）求证：A1D⊥AB；

（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为217，求AA1

19．（20分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a∈R．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＝1时，求函数f（x）在（0，2]的最大值；

（3）当a≤12时，求函数f

（4）证明：当a∈(0，12

20．（14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）过点P（4，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x＝1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB∥x轴，试求