2023-2024学年北京师大二附中西城实验学校高二（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京师大二附中西城实验学校高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．在等差数列{an}中，a1＝3，a3＝6则a5的值为（）

A．15 B．6 C．81 D．9

2．已知数列{an}的前n项和Sn=4n

A．16 B．32 C．48 D．64

3．下列函数中，图像存在与x轴平行的切线的是（）

A．y＝x3+1 B．y=x C．y＝ex D．y＝

4．函数y＝cos（2x+1）的导数是（）

A．y′＝sin（2x+1） B．y′＝﹣2xsin（2x+1）

C．y′＝﹣2sin（2x+1） D．y′＝2xsin（2x+1）

5．已知{an}，{bn}均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（）

A．{an+bn} B．{an?bn} C．{|an|} D．{

6．已知数列{an}满足：an+1＝﹣an+n+1．若a1＝t，则a4＝（）

A．﹣t+3 B．﹣t+4 C．t+9 D．t+12

7．已知{an}为无穷等差数列，则“存在i，j∈N*且i≠j，使得ai+aj＝0”是“存在k≥2且k∈N*，使得ak＝0”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．记a=0.1

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c

9．已知函数f（x）＝sinx，记h(x)=

A．h（x）在(π3

B．h（x）在(π3

C．h（x）在(π3，π

D．h（x）在(π3，

10．已知函数f（x）＝ex?（x2﹣ax+a），a∈R，下列说法不正确的是（）

A．若a＝2，则f（x）在R上单调递增

B．若0为f（x）的极大值点，则a＞2

C．f（x）的图像经过一个定点

D．若a＞e，则方程f（x）﹣e＝0有三个不相等的实数根

二、填空题（本大题共5小题，、每小题5分，共25分）

11．已知等比数列{an}中，a3+a4＝4（a1+a2），则{an}的公比为．

12．若函数y=x在区间[1，4]上的平均变化率k恰等于其在x＝x0处的瞬时变化率，则k＝；x0＝

13．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a1＝﹣4．

（1）若S3＝﹣6，则d＝；

（2）若d＝1，则Sn的最小值为．

14．已知函数f(x)=xx2+2，则f（x）的极大值为；f（x）的单调递减区间为

15．设{an}为无穷数列，记bn=an-tn-t，其中t

①若an=2n，t=0

②若an＝1，t＜1，则{bn}为单调递减数列；

③若an＝2n﹣1，则对任意t＞1且t?N*，{bn}均存在最大项；

④若an＝2n﹣1，则对任意t＞1且t?N*，{bn}均存在最小项．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+9．

（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间和极值．

17．（13分）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an+1

（1）直接写出a2，a3，a4的值；

（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

18．（15分）已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求{an+bn}的前n项和；

（3）若对任意n∈N*，有an?λ?bn恒成立，求实数λ的最小值．

19．（13分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示．已知M，N为C的两个端点，点M到l1，l2的距离分别为20千米和5千米，点N到l1，l2的距离分别为4千米和25千米，分别以l1，l2所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线C符合函数y=axk（其中a

（1）求a，k的值；

（2）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t．

①求公路l所在直线的方程；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求最短长度．

20．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣xlnx．

（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的零点；

（Ⅱ）讨论f（x）在[1，e]上的最大值；

（Ⅲ）是否存在实数a，使得对任意x＞0，都有f（x）≤a？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（15分）若项数为N（N≥3）的数列AN：a1，