2025高考数学专项讲义第05讲基本不等式(学生版+解析).docxVIP

第05讲基本不等式

（10类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分

基本不等式求范围

导数综合

2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分

基本不等式求最值

圆锥曲线大题综合

2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分

基本不等式求最值

正余弦定理解三角形

2022年新Ⅱ卷，第12题,5分

基本不等式求最值

三角换元及三角函数相关性质

2021年新Ⅰ卷，第5题,5分

基本不等式求最值

椭圆方程及其性质

2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分

基本不等式求最值

空间向量及立体几何

2020年新Ⅱ卷，第12题,5分

基本不等式求最值

指对函数的性质及单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右

【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”

2.能正确处理常数“1”求最值

3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。

知识讲解

1．基本不等式

如果，那么（当且仅当时取“=”）.

说明：

①对于非负数，我们把称为的，称为的.

②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有.

④结构特点：和式与积式的关系.

2．基本不等式求最值

（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值（简记为：积定和最小）.

（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.

3．几个重要不等式（含基本不等式链）

（1）（）；（2）（）；

（3）（）；（4）或（）；

（5）

考点一、直接用基本不等式求和或积的最值

1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（????）

A．0 B．1 C．-1 D．2

2．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为．

2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为.

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（????）

A．4 B． C．6 D．

2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．

1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（????）

A．4 B． C． D．

2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为.

3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）

A． B． C． D．3

考点三、拼凑法求最值

1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（????）

A．1 B．4 C． D．

2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则．

3．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为.

1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．

2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．

考点四、换元法求最值

1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.

2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为．

1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为.

2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

考点五、二次与二次（一次）的商式求最值

1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最大值为.

2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为．

1．（22-23高三上·福建泉