考点40 双曲线（原卷版）.docx

考点40双曲线

一．双曲线的定义

条件

结论1

结论2

平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2||MF1|－|MF2||＝2a2a|F1F2|

M点的轨迹为双曲线

F1、F2为双曲线的焦点

|F1F2|为双曲线的焦距

二．双曲线定义的应用规律

类型

解读

求方程

由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程

解焦点三角形

利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题

三.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长

a、b、c的关系

c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)

四．等轴双曲线及性质

(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)等轴双曲线?离心率e＝eq\r(2)?两条渐近线y＝±x相互垂直．

(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法

①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；

②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；

③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．

五．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,F?x，y?＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ0?直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；

Δ0?直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

六．曲线中一些常用的结论

1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).

5.P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·eq\f(1,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.

1.双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．

2.区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

3.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．

4.在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

考点一双曲线的定义及运用

【例1-1】（2021·陕西·西北工业大学附属中学）设双曲线C:x2-4y2+64=0的焦点为F1,F

A．22 B．14 C．10 D．2

【例1-2】（2021·江西·贵溪市第一中学）设点P在