2025高考数学专项讲义第14讲圆锥曲线中的定值问题(学生版+解析).docxVIP

第14讲圆锥曲线中的定值问题

（8类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2021年新I卷，第21题,12分

双曲线中的定值问题

求双曲线的轨迹方程

2020年新I卷，第22题,12分

椭圆中的定值问题

根据椭圆过的点求标准方程

椭圆中存在定点满足某条件问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定值问题

2.会定值相关的计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

考点一、弦长类定值

1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

3．（重庆·高考真题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．

(1)求椭圆的方程；

(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．

4．（江西·高考真题）如图，已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上，轴，,(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在上移动时，恒为定值，并求此定值.

5．（北京·高考真题）已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．

(1)求点的坐标；

(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．

2．（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.

3．（2024·全国·模拟预测）已知A是圆E：上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．

(1)求动点T的轨迹C的方程；

(2)已知点，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．

4．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.

（i）求与的面积之比；

（ii）证明：为定值.

6．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值.

(3)求证：

考点二、斜率类定值

1．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

2．（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.

3．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.

(1)求W的方程；

(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；

(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.

4．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．

(1)求椭圆和双曲线的离心率；

(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

1．（2024·全国·模拟预