热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点7-2椭圆及其应用

椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。

【题型1椭圆的定义及概念辨析】

满分技巧

在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．

否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．

【例1】（2021·高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（）

A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线

【答案】C

【解析】因为（当且仅当时，等号成立，所以，

当且时，，此时动点的轨迹是椭圆；

当时，，此时动点的轨迹是线段．故选：C．

【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】C

【解析】因为,

所以四边形是平行四边形.所以.

由椭圆的定义得.

所以.故选：C

【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设.

因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，

所以，所以，

所以.故选：B

【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由题意可知：圆的圆心，半径；

圆的圆心，半径；

因为，可知圆与圆内切于点，

显然圆心不能与点重合，设圆的半径为，

由题意可知：，则，

可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外），

且，可得，

所以点的轨迹方程为.故选：D.

【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．

【答案】

【解析】设椭圆右焦点为，连接

由已知得，则

因为N是中点，为的中点，

，

再根据椭圆定义得

【题型2利用定义求距离和差最值】

满分技巧

利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：

（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；

（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值

【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】椭圆，则，，，

如图，设椭圆的右焦点为，

则；

，

由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，，

当不在直线（与椭圆的交点）上时，

根据三角形的两边之差小于第三边有，；

当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值，

的最小值为．故选：．

【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（）

A．5B．6C．D．

【答案】D

【解析】依题意，设椭圆的左焦点为，

圆的圆心为，半径为，

，

当三点共线，且在之间时等号成立.

而，

所以，

当四点共线，且在之间，

是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D

【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.

则椭圆的焦点为.

又,，，

故，

当且仅当分别在的延长线上时取等号.

此时最大值为.故选：C.

【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据椭圆的定义可得，，

则，

因为，

则当三点共线时，取值最大或最小.

由已知得，，，，，.

当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.

.

当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.

.

故答案为：.

【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右