新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题04 幂指对函数（解析版）.doc

专题04幂指对函数（重要考点）

目录一览

一、典例分析

二、考点梳理

三、专项突破训练

（1）幂指对函数的图像与性质（★）

（2）指对数的相关运算（★★★）

（3）比较大小问题（★★★★）

Ⅰ利用中间值

Ⅱ构造函数

四、答案速览

二、考点梳理

二、考点梳理

1.幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量，\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数称为幂函数.

2.常见的幂函数图像及性质

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

3.指数的运算

(1)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

4.指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

5.对数的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3)对数的性质和运算法则：

①；；其中且；②(其中且，)；

③对数换底公式：；④；

⑤；⑥，；

⑦和；⑧；

6.对数函数

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，当时，

当时，，当时，

三、专项突破训练

三、专项突破训练

题型一：幂指对函数的图像与性质

题型一：幂指对函数的图像与性质

一、多选题

1．（2023春·河南新乡·校考开学考试）下到说法正确的是（????）.

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．图象关于点成中心对称

C．幂函数在上为减函数，则的值为

D．若，则的最大值是

【答案】BCD

【分析】利用抽象函数定义域的求法可判断A选项；利用函数的对称性的定义可判断B选项；利用幂函数的定义与单调性求出的值，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则，解得，

故函数的定义域为，A错；

对于B选项，对任意的，，

故函数的图象关于点对称，B对；

对于C选项，若幂函数在上为减函数，

则，解得，C对；

对于D选项，若，，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：BCD.

2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是（????）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称

【答案】BC

【分析】根据复合函数的单调性判断A、B，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断C、D.

【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；

又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，即关于直线对称，故C正确，D错误；

故选：BC

3．（2023春·湖南长沙·雅礼中学校考阶段练习）设，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用指数的运算性质，分别计算，，，，，代入选项依次验证即可.

【详解】由题意可得，，

所以，，AC错误；

，B正确；

，D正确；

故选：BD

4．（2022秋·四川巴中·统考期末）已知函数，则（????）

A．的图象关于y轴对称 B．与的图象有唯一公共点

C．的解集为 D．

【答案】ABD

【分析】利用偶函数的定义可判断A正确；解方程可判断B正确；解不等式可判断C不正确；先证明在上为增函数，再根据对数知识以及的单调性和奇偶性可判断D正确.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；

由，得，得，得，得，所以与的图象有唯一公共点，故B正确；

由，得，得，得，

得，得，即的解集为，故C不正确；

设，则

，

因为，所以，，，

所以，即，

故在上为增函数，

因为，为偶函数，

所以，故D正确.

故选：ABD

5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（????）

A．函数在上单调递增

B．存