新高考数学二轮复习导数专项练习专题06 二次函数的综合问题（教师版）.doc

专题06二次函数的综合问题

二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。复合函数也越来越重要。所以二次函数的学习，都显示的特别重要。

1.二次函数解析式的三种形式：

①一般式方程：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).

②顶点式方程：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

③零点式方程：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

2.二次函数的图象和性质

解析式

y＝ax2＋bx＋c(a0)

y＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

对称性

函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称

最值

当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；函数取最小值y＝．

当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；函数取最大值y＝．

3.恒成立问题

=1\*GB3①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；

=2\*GB3②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

重难点题型（一）与二次函数型有关的复合函数问题

例1．（1）、（2022·全国高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由题意可得真数部分取到所有的正数，即是函数的值域的子集，由即可求解.

【详解】

因为函数的值域为，

可得真数部分取到所有的正数，

即函数取到所有的正数，

所以是函数的值域的子集，

所以解得：或，

所以实数的取值范围是：.

故选：A.

（2）、（2022·河南信阳·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围

【详解】解：令，

∵在上单调递减，

∴在内递增，且恒大于0，

且，

．

故选：C．

【变式训练1-1】、（2021·甘肃·静宁县第一中学二模）函数的单调递增区间是______．

【答案】

【分析】根据复合函数单调性的性质，结合对数函数的性质进行求解即可.

【详解】由得．设（），则在区间上单调递增，在区间上单调递减．又在上单调递增，所以函数的单调递增区间是．

故答案为：

【变式训练1-2】、（2020·浙江杭州·）若函数的值域为，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

令，则取遍上的所有实数，就结合对应函数的图象可得实数的取值范围.

【详解】

由值域为，可知取遍上的所有实数，

当时，能取遍上的所有实数，只需定义域满足.

当时，要保证能取遍上的所有实数，需，

解得，所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的值域，要注意定义域是、与值域是为的两个题型的区别，值域为，可知取遍上的所有实数，而定义域是，是恒成立．

重难点题型（二）与二次函数有关的“嵌套型复合函数”的问题

例2．（1）、（2021·山东）已知，，则方程的解的个数是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将方程因式分解，求得或，结合的图象判断出正确选项.

【详解】

因为，所以，

所以或，画出的大致图象，如图，

因为，所以，

因为直线与函数的图象有1个交点，

直线与函数的图象有2个交点，

故方程的解的个数是3.

故选：B.

【点睛】

含参数研究方程的解，可结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.

（2）、（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习）设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；

【详解】作出函数的大致图象，

令，因为恰有6个不同的实数解，

所以在区间上有2个不同的实数解，

，

解得，

实数的取值范围为．

故答案为：．

【变式训练2-1】．（2021·河北区·天津二中高三月考）已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.

【详解】

作出图象，如图所示，令，

当时，与图象有1个交点，即有1个根，

当时，与图象有2个交点，即有2个根，

则关于的方程转化为，

由题意得，解得，

方程的两根为，

因为关于的方程有三个不同的实数，

则，解得，满足题意.

故选：A

【变式训练2-2】、（2022·江西·高三阶段练习（理））已