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情景创设
6.1.1空间向量的线性运算
学习目标
1.了解空间向量概念，理解与平面向量异同
2.掌握空间向量加法减法数乘运算
3.掌握两向量共线定理
情景创设
平面内，我们把具有大小和方向的量叫做平面向量.
向量的大小叫做向量的长度或模
A
B
a
起点
终点
3.特殊平面向量概念
零向量:
单位向量:
相反向量:
相等向量:
模为1的向量称为单位向量.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2.平面向量的表示
1.平面向量的概念
情境创设
4.平面向量的加减运算
加法三角形法则：首尾相连，第一个向量的起点指向第二个向量终点
加法平行四边形法则：起点相同，共起点的对角线
减法三角形法则：起点相同，连终点，指向被减
6.推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
5.平面向量的加法运算律:
情境创设
F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
……
如图：OA=6米，AB=6米，BC=3米，求OC的长。
如何用向量来研究？
情境创设
A
D
B1
C1
D1
实际上,平面向量是空间向量的一个特殊位置,所以平面向量的定义也适用于空间向量.
思考：如何定义空间向量？
数学建构
空间中，我们把具有大小和方向的量叫做平面向量.
向量的大小叫做向量的长度或模
A
B
a
起点
终点
3.特殊空间向量概念
零向量:
单位向量:
相反向量:
相等向量:
模为1的向量称为单位向量.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2.空间向量的表示
1.空间向量的概念
自主思学
阅读课本P5-7内容，弄清下列问题
1、空间向量的相关概念？
2、空间向量的线性运算？
3、空间向量的共线定理？
合作释议
A
D
B1
C1
D1
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.（理论依据：自由向量）
答案：ABC
数学建构
合作释议
A
D
B1
C1
D1
思考：怎样进行空间两向量的加法减法运算？
答案：AB
数学建构
第一步、平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.
1.空间两向量的加法减法运算
第二步、平面内运用三角形法则和平行四边形法则即可
2.空间向量的加法运算也满足交换律及结合律:
合作展示
解:
同起点的不共面三个向量的和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的对角线向量,起点与这三个向量的起点相同.
合作展示
解:
数学应用
解:
(1)
(2)
数学应用
解:
(3)
(E为CC的中点).
E
数学应用
解:
(4)
F
数学建构
1.数乘定义（类比平面向量）
实数l与空间向量a的乘积la仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.
如:
A
B
3a
C
D
2a
2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:l(a+b)=la+lb,
结合律:l(ma)=(lm)a.
-2a
当l0时,la与向量a方向相同;la的长度是a的长度的|l|倍.
当l0时,la与向量a方向相反;la的长度是a的长度的|l|倍.
当l=0时,la为零向量.
3.共线向量定理
向量a//b的充要条件是存在实数l,使a=lb.(b≠0)
合作展示
解:
(1)
∴x=1.
(2)
数学应用
解:
数学建构
比较
空间向量
平面向量
定义
相同
相同
加法
平移到共面
三角形、平行四边形法则
减法
平移到共面
三角形法则
数乘
相同
相同
共线定理
相同
相同
数量积
垂直
坐标表示
解:
(1)
(2)
课堂达标
A
课堂达标
解:
(1)
(2)
课堂达标
A
课堂达标
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