2025版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲离散型随机变量及其分布列讲义理含解析.docVIP

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第7讲离散型随机变量及其分布列

[考纲解读]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

2.能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点)

3.理解超几何分布，并能进行简洁的应用．

[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考中的热点内容.预料2024年将会考查：①与排列组合及统计学问结合的分布列；②与独立重复事务结合的分布列.试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.

1．离散型随机变量

随着试验结果变更而变更的变量称为eq\o(□,\s\up4(01))随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．全部取值可以一一列出的随机变量，称为eq\o(□,\s\up4(02))离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的eq\o(□,\s\up4(01))概率分布列，简称为X的eq\o(□,\s\up4(02))分布列，有时为了表达简洁，也用等式eq\o(□,\s\up4(03))P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①eq\o(□,\s\up4(04))pi≥0(i＝1,2，…，n)；

②eq\o(□,\s\up4(05))eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,p)i＝1).

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布

若随机变量X听从两点分布，即其分布列为

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\o(□,\s\up4(02))eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

假如随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X听从超几何分布．

1．概念辨析

(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事务是彼此互斥的．()

(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()

(4)若随机变量X的分布列由下表给出，

X

2

5

P

0.3

0.7

则它听从两点分布．()

答案(1)√(2)√(3)√(4)×

2．小题热身

(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为()

A．0,1 B．1,2

C．0,1,2 D．0,1,2,3

答案C

解析由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2.

(2)抛掷两枚质地匀称的硬币，则正面对上的个数X的分布列为()

答案C

解析因为P(X＝1)＝eq\f(1,2)，所以A，B不正确；又因为

P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1.所以D不正确，故选C.

(3)设随机变量X的分布列如下：

则p为()

A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)

答案C

解析由分布列的性质得，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，

解得p＝eq\f(1,4).

(4)从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．

答案eq\f(4,5)

解析设所选女生人数为x，则x听从超几何分布，

其中N＝6，M＝2，n＝3，则

P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).

题型eq\a\vs4\al(一)离散型随机变量分布列的性质

设随机变量ξ的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常数a的值；

(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))；

(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a