浙江专升本高数错题分析 第三章：中值定理及其应用.pdf

第三章中值定理及导数应用

本章是一元函数微分学的核心内容之一,其包含的中值定理和定积分的应用技

巧是既是学习一元、多元函数（不）定积分的基础，又是对一元函数导数和微分理

解的深化。在研究生入学考试中，本章是《高等数学一》至《高等数学四》的考试

内容。

通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：

1、理解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，会运用中值定理证明一些等式和不等

式。

2、掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间，会利用单调性证明一些不等

式。

3、熟练掌握求函数极值的方法，会求函数在闭区间上的最大值和最小值，会解简单

的最大值、最小值的应用题。

4、会求曲线的凹凸曲线和拐点，会求曲线的渐近线，能正确地做出某些函数的图形

草图。

5、了解泰勒公式、泰勒定理、麦克劳林公式及其拉格朗日型余项，能写出某些初等

函数的麦克劳林展开式。

6、熟练掌握洛必达法则，会求各类“未定型”的极限。

一、知识网络图

Role定理





中1.中值定理Lagrange定理



Cauchy定理



2.Lhospital

值



3.Taylor公式





4.函数单调性的判定

定



函数极值和最值极其求法

5,



6.曲线的凹凸性和拐点



理

7.函数图形的描绘



曲率

8.



1

二、典型错误分析

应用中值定理解题是本书的一个难点，但它还是有一定规律可遵循。如果要解决

的问题中有未知的“”，首先应先分析题目中给出的抽象函数的条件。如果仅有连续

条件，那么只能利用闭区间上连续函数的性质，而不能用微分中值定理。如有

可导条件，微分中值定理一定会用到。

210xxx0x1

例1．证明方程除了和之外，不存在其它实根。

[错解]证明：从函数图像上看，所谓的根基就是函数y2x与图像交点的横