2025高考数学专项讲义第05讲平面向量之极化恒等式(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析).docxVIP

第05讲平面向量之极化恒等式

（高阶拓展、竞赛适用）

（2类核心考点精讲精练）

在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

知识讲解

极化恒等式

恒等式右边有很直观的几何意义:

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

如图在平行四边形中,

则

在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:

极化恒等式的适用条件

共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下

第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;

第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积

如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

考点一、极化恒等式求值

1．（全国·高考真题）设向量满足，，则

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】A

方法一：基本方法，详见解析版

方法二：极化恒等式

由极化恒等式可得：，故选A．

2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

【答案】B

【详解】方法一、二、三，详见解析版

方法四：极化恒等式

设CD中点为O点，由极化恒等式可得：，故选：B.

1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.???????????

【答案】

方法一：详见解析版

方法二：极化恒等式

因为是上的两个三等分点,所以

联立解得:，所以

2.如图,在中,已知,点分別在边上,

且,若为的中点,则的值为________

3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式.已知在中，是中点，，，则（????）

A． B．16 C． D．8

4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（????）

A．32 B．-32 C．16 D．-16

考点二、极化恒等式求范围

1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________

2．（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B． C． D．

如图,在平面四边形中,,则的最大值为____

设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______

已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（）

A.B.C.D.

1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为.

2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（????）

A．2 B．

C． D．4

3．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（????）

A．9 B．10 C．11 D．12

4．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）

A． B．