2025高考数学专项讲义第06讲几何法求空间角与空间距离(学生版+解析).docxVIP

第06讲几何法求空间角与空间距离

（5类核心考点精讲精练）

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分

【备考策略】1.掌握等体积转化求点面距

2.掌握等几何法求异面直线所成角

3.掌握等几何法求线面角

4.掌握几何法求二面角

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.

知识讲解

一、异面直线所成角

1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′//a,b′//b,我们把a′

二、直线与平面所成角

1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

2.范围：0,π2.

3.求法：

（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为l）和到平面的距离（设为

三、二面角

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。

2.范围：0,π.

3.求法：

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。

（2）三垂线法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

（3）垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

（4）射影面积法：

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S

空间距离

点面距可转化为三棱锥等体积求解

考点一、几何法求点面距

1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为．

2．（23-24高三上·河北·期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

3．（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为．

4．（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为；异面直线BD1与CD的距离为．

1．（23-24高三上·全国·阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（????）

A． B．1 C． D．

4．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，．

(1)证明：．

(2)若为等边三角形，求点C到平面的距离．

考点二、几何法求异面直线所成角

1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·四川绵阳·三模）在梯形中,，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

1．（2024·广西桂林·三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·全国·模拟预测）如图，矩形是圆柱的轴截面，点在圆上，若，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

考点三、几何法求线面角

1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（????）

A． B．1 C．2 D．3

2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，底面