考点38 圆的方程（解析版）.docx

考点38圆的方程

圆

1.圆的定义及方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)

圆心(a，b)

半径为r

一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

条件：D2＋E2－4F0

圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)

2.求圆的方程的两种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

二．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

三．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法

位置关系

几何法

代数法

相交

dr

Δ0

相切

d＝r

Δ＝0

相离

dr

Δ0

四．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r20)．

方法

位置关系

几何法：圆心距d与r1，r2的关系

代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况

外离

dr1＋r2

无解

外切

d＝r1＋r2

一组实数解

相交

|r1－r2|dr1＋r2

两组不同的实数解

内切

d＝|r1－r2|(r1≠r2)

一组实数解

内含

0≤d|r1－r2|(r1≠r2)

无解

五．弦长

1.求直线被圆截得的弦长的常用方法

①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).

②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.

2.圆的切线方程的求法

①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

3.两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．

1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；

2.对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．

3.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

4.过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

考点一圆的方程

【例1-1】（湖北省）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为点，，所以所求圆的圆心坐标为，半径，

所以所求圆的标准方程为.故选：C

【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）圆：关于直线：对称的圆的方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题设，圆的圆心为，半径为2，则对称圆的半径为2，

若对称圆的圆心为，则在上，即，

由对称性，知：圆心连线与直线垂直，则，即，

综上，得：，∴对称的圆的方程为.故选：A

【变式训练】

1．（北京市房山区）圆心为且与轴相切的圆的方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为圆心为，且与轴相切，故原的半径，则圆的标准方程为：.故选：D.

2．（2021·重庆·模拟预测）“实数”是“方程”表示圆的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要