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上海市金山中学2024届高考数学二模试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数图象的大致形状是（）

A． B．

C． D．

2．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（）

A． B． C． D．

3．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（）

A．若∥，b∥，则∥ B．若，，则∥

C．若∥，，则 D．若，b∥，则

4．“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（）

A． B． C．2 D．

6．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）

A． B． C． D．

7．函数的大致图象是

A． B． C． D．

8．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）

A． B． C． D．

9．已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（）

A． B． C． D．

10．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（）

A．64 B．32 C．2 D．4

11．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()

A． B． C．4 D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．

14．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.

15．展开式中的系数为_______________．

16．已知为正实数，且，则的最小值为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线交于M，N，线段MN的中点为E.

①求证：；

②记，，的面积分别为、、，求证：为定值.

18．（12分）已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形的面积大于，求参数的取值范围.

19．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆的方程；

（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.

20．（12分）设函数.

（1）求的值；

（2）若，求函数的单调递减区间.

21．（12分）已知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.

22．（10分）在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求边上的高.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

判断函数的奇偶性，可排除A、C，再判断函数在区间上函数值与的大小，即可得出答案.

【详解】

解：因为，

所以，

所以函数是奇函数，可排除A、C；

又当，，可排除D；

故选：B.

【点睛】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

2、D

【解析】

设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.

【详解】

设双曲线的左焦点为，连接，，，

设，则，，，

，根据对称性知四边形为矩形，

中：，即，解得；

中：，即，故，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3、C

【解析】

根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.

【详解】

A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；

B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；

C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；

D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，