2025高考数学专项讲义第10讲圆锥曲线的弦长问题万能公式(硬解定理)(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析).docxVIP

圆锥曲线的弦长问题万能公式（硬解定理）（高阶拓展、竞赛适用）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第16题,15分

求弦长

求椭圆的离心率

根据椭圆过的点求标准方程

椭圆中三角形(四边形)的面积

根据韦达走理求参数

2023年新I卷，第22题,12分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长

抛物线标准方程

由导数求函数的最值(不含参)

基本(均值)不等式的应用

求平面轨迹方程

2022年新I卷，第11题,5分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长

根据抛物线方程求焦点或准线

判断直线与抛物线的位置关系

2021年新Ⅱ卷，第20题,12分

求椭圆中的弦长

根据离心率求椭圆的标准方程

根据弦长求参数

椭圆中的直线过定点问题

2020年新I卷，第13题,5分

求抛物线焦点弦长

无

2020年新Ⅱ卷，第14题,5分

求抛物线焦点弦长

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的弦长公式及其相关计算

2.理解、掌握圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

知识讲解

弦长公式

若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长

圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）

设直线方程为:y=kx+

圆锥曲线的方程为:fx

可化为ax

设直线和曲线的两交点为Ax1,y1,Bx2,y

AB

(2)若消去x,得a

AB

考点一、椭圆中的弦长问题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆与直线的交点，求线段AB的长度.

2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)若的面积，求直线的方程.

3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积．

(1)求的标准方程；

(2)过点作直线与交于另一点，求直线的斜率．

4．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

1．（2023·全国·模拟预测）直线与椭圆交于两点，长轴的右顶点为点，则的面积为.

2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当的面积是时，求.

3．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．

4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左?右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的范围.

考点二、双曲线中的弦长问题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度.

2．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.

3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左?右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点.

(1)求直线斜率的取值范围；

(2)求的取值范围.

1．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.

2．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.

3．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.

(1)求C的方程；

(2)证明：，求.

考点三、物线中的弦长问题

1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（????）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

2．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．

(1)求；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．

3．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中