热点2-2 函数的最值（值域）及应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点2-3函数的最值(值域)及应用

函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

【题型1单调性法求函数的最值（值域）】

满分技巧

函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）

（1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数的单调性，从而求得值域；

（2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。

（3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性。

【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，

所以该函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，又，

所以，即函数的值域为.故选：B.

【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）函数，的值域为

【答案】

【解析】因为和在上均为减函数，

所以在上为减函数，

所以，即，所以值域为.

【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，则的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】当时，在上单调递增，此时，，

当时，在上单调递减，此时，，

综上可知，的最大值为.故选：B.

【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数，，则的最大值为（）

A．B．C．D．1

【答案】A

【解析】由“对勾函数”的性质可得在上单调递减，在上单调递增，

，，

所以，故选：A.

【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，

则．

因为为上的增函数，且，

所以，所以．

因为在上单调递增，所以，得．故选：D.

【题型2图象法求函数的最值（值域）】

满分技巧

画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数。

【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数．

（1）画出的图像，并直接写出的值域；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）图象见解析，函数的值域是；（2）或.

【解析】（1）当时，，

当时，，

当时，，

所以，

的图象如图：

由图可知，函数的值域是.

（2）若不等式恒成立，则，

则，即，解得或.

【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为.

【答案】

【解析】当，即，即时，，

当，，即或时，，

所以，

函数图象如图所示：

由图可得，函数在，上递减，在上递增，

所以.

【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由函数满足，且当时，

当时，可得；

当时，可得，

所以在区间上，可得，

作函数的图象，如图所示，

所以当时，，故选：B.

【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】作出函数的图象如图：

因为，

因为，所以，

表示函数上的点到直线的距离，

由图可知，当时，取得最大值，最大值为；

当时，，

结合图象可知，在区间上总有，

所以，此时的最大值为；

当时，由图可知，，

且.

综上，在区间上的最大值的取值范围为.故选：C

【题型3换元法求函数的最值（值域）】

满分技巧

换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有

（1）或的结构，可用“”换元；

（2）（均为常数，），可用“”换元；

（3）型的函数，可用“”或“”换元；

【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）函数的最大值为.

【答案】

【解析】令，则，所以，

由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，

所以函数在单调递增，在上单调递减.

所以当，即时，

取得最大值为.

【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）