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2024年上海中学自主招生数学试卷

1．已知a、b和c是△ABC的三边，a＝c，，方程两根之差是

2．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．

3．已知平面上有三个圆和三条直线，求它们的交点个数的最大值．

4．已知I是△ABC的内心，AI交BC于D，交⊙O于E，AI＝4，求DE长度．

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5．已知二次函数f（x）满足对任意实数x都有x﹣2x+2≤f（x）≤2x﹣4x+3，f（11）＝181，求f（16）

6．已知，图象顶点为A，与x轴交于B和C，求a的值．

7．如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）已知点A点横坐标是m，△ABO的面积是S，求S关于m的函数解析式；

（3）已知△OCD的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，

求其解析式，请说明理由．

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2024年上海中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

1．已知a、b和c是△ABC的三边，a＝c，，方程两根之差是

【解答】解：设方程的两根分别为m、n，

∴，

∵方程两根之差是，

4

∴（m﹣n）＝2，

2

整理得（m+n）﹣2mn＝2，

即，

∵a＝c，

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∴b＝3a，

即，

∴△ABC是底边为b的等腰三角形，

由图可知，，

∴△ABC的底角∠A＝∠C＝30°．

所以△ABC的底角的度数为30°．

2．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．

【解答】解：，

由×2﹣得：（2+a）y＝12，

①②

∴当a≠﹣4时，，

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∵有正整数解，

∴，且a+2＝1或5或3或4或3或12，

∴a＞﹣2，

当a+2＝5，则a＝﹣1，x＝6﹣12＝﹣2（舍）；

当a+2＝2，则a＝3，x＝6﹣6＝5（舍）；

当a+2＝3，则a＝2，x＝6﹣4＝3；

当a+2＝4，则a＝2，x＝6﹣3＝8；

当a+2＝6，则a＝7，x＝6﹣2＝7；

当a+2＝12，则a＝10，x＝6﹣8＝5，

∴整数a的值为1或2或4或10．

3．已知平面上有三个圆和三条直线，求它们的交点个数的最大值．

【解答】解：∵在同一平面内，三条直线两两之间最多有3个交点，三条直线与三个圆最多有18个交

点，

∴三个圆和三条直线最多有：3+7+18＝27（个）交点，

答：三个圆和三条直线的交点个数的最大值为27．

4．已知I是△ABC的内心，AI交BC于D，交⊙O于E