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2024届广东省广州市第一中学高三下学期第六次检测数学试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

2．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（）

A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147

3．已知函数，以下结论正确的个数为（）

①当时，函数的图象的对称中心为；

②当时，函数在上为单调递减函数；

③若函数在上不单调，则；

④当时，在上的最大值为1．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知，则，不可能满足的关系是（）

A． B． C． D．

5．函数图像可能是（）

A． B． C． D．

6．已知等差数列的前项和为，且，则（）

A．45 B．42 C．25 D．36

7．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（）

A． B．

C． D．

8．设为自然对数的底数，函数，若，则()

A． B． C． D．

9．已知为非零向量，“”为“”的（）

A．充分不必要条件 B．充分必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

10．若，则的虚部是（）

A． B． C． D．

11．集合的真子集的个数为()

A．7 B．8 C．31 D．32

12．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.

14．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.

15．如图，直线是曲线在处的切线，则________.

16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=,那么椭圆的方程是．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.

19．（12分）已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；

（2）当时，，求实数的取值范围.

20．（12分）在△ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值.

21．（12分）已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；

（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.

22．（10分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【详解】

解：对，，且，有

在上递增

因为定义在上的偶函数

所以在上递减

又因为，，

所以

故选：A

【点睛】

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.

2、B

【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可

【详解】

如图，由几何概型公式可知：.

故选：B

【点睛】

本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题

3、C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数的图象的对称中心为，正确．

②由题意知．因为当时，，

又，所以在上恒成立，所以函数在上为单调递减函数，正确．

③由题意知，当时，，此时在上为增函数，不合题意，故．

令，解得．因为在上不单调，所以在上有解，

需，解得，正确．

④令，得．根据函数的单调性，在上的最大值只可能为