拓展二：与圆有关的最值问题 -2022-2023学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版） .docx

拓展二：与圆有关的最值问题

知识点1圆的最值问题

求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化

圆的最值类型：

圆上动点到定点距离的最值问题

圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.

圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.

圆上动点到定直线的距离的最值问题

圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径.

三、圆的切线长最值问题

四、由直线与圆的位置关系求距离的最值

五、过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题）

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.

六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题

处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

（1）形如u＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．

（2）求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：

①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；

②把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.

（3）求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.

七、利用对称性求最值

形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

考点一圆上动点到定点的距离的最值问题

【例1-1】圆上一点到原点的距离的最大值为（???????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解析】圆的圆心为，半径为，

圆心到原点的距离为，

所以圆上一点到原点的距离的最大值为.

故选：C

变式1：已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（???????）

A． B．6

C． D．

【解析】根据题意，圆，

变形可得．

其圆心为，半径为，则，

当圆的面积最小时，必有，此时．

圆的方程为，

圆心到原点为距离，

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．

故选：D．

变式2：已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（???????）

A． B． C． D．

【解析】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，

所以的最大值是

．

故选：D

变式3：在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过动点引圆的切线，切点为.若，则长的最大值为（???????）

A． B． C． D．

【解析】设，

因为与圆相切，为切点，，

故，

所以，

所以，

整理得，

所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，在圆内，

所以长的最大值为．

故选：．

考点二圆上动点到定直线的距离的最值问题

【例2-1】已知动点P在曲线上，则动点P到直线的距离的最大值与最小值的和为___________.

【解析】设曲线的圆心坐标为，半径，

圆心到直线的距离为，

动点P到直线的距离的最大值为

动点P到直线的距离的最小值，

所以动点P到直线的距离的最大值与最小值的和为.

故答案为：4

变式1：为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，

则圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线上的点的最小距离，

故选：A．

变式2：圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（???????）

A． B． C． D．

【解析】直线所过的定点坐标为，圆C：的圆心坐标为，半径为，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到定点的距离最大，已知圆心到定点的距离为，所以距离的最大值为.

故选：B

变式3:阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德?欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【解析】设，则，即，化简得，

所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，

所以点C到直线的距离的最小值为；

故选