新高考数学二轮复习常考题分类讲练导数解答题7大常考题型总结（解析版）.doc

解答题导数7大常考题型总结

【题型目录】

题型一：导数中证明不等式问题

题型二：导数中的隐零点问题

题型三：导数中的零点问题

题型四：导数中的同构问题

题型五：导数中的极值点偏移问题

题型六：导数中的双变量问题

题型七：导数与数列不等式问题

【题型总结】

题型一：导数中证明不等式问题

【例1】已知函数.

(1)当时，证明：；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析

【分析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等式；

（2），对分类讨论即可得出函数的单调性．

【详解】（1）当时，令，

，

可得时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增，

时，函数取得极小值即最小值，，

∴，即．

（2）函数的定义域为，

，??

当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；

当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减；

当时，，，函数在单调递增．

综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；

当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增.

【例2】已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再求出导数为正、为负的x取值区间作答.

（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用导数求出最值推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，又，

则当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）因为，则不等式，

当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，则，

令，则，当时，，当时，，

因此在上单调递减，在上单调递增，，

于是得，即，

所以.

【例3】已知函数.

(1)求该函数在点处的切线方程；

(2)证明：当时，.

【答案】(1)；(2)证明见解析

【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则，

所以，，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

（2）解：令，则，

当时，，则函数在上为减函数，

故当时，，则.

【例4】已知函数有两个不同的零点x1，x2.

(1)当时，求证：；

(2)求实数a的取值范围；

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）构造函数，利用导数求得，进而证得不等式成立.

（2）结合导数，先判断，然后结合的最小值为负数以及零点存在性定理求得的取值范围.

【详解】（1）令，则.

当时，所以在上单调递减.

所以

所以.

（2），

当时，，此时f（x）为增函数，不合题意；

当时，，得，(舍)

所以当，，f（x）单调递减；当，，f（x）单调递增.

如果f（x）有两个不同的零点，必有，

则，得，所以.

此时，又此时，

故在（）有一个零点：

由（1）知，时，，令，

解得，故当时，，故当时，，

故在）上有一个零点，

所以f（x）有两个不同的零点时，a的取值范围为

【点睛】利用导数研究函数的零点，首先要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.然后利用导数进行研究时，转化为极值、最值问进行求解，求解过程中要注意结合单调性以及零点存在性定理来进行判断.

【例5】已知函数（）.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)当时，在单调递减，单调递增，

当时，在单调递增，单调递减.

(2)证明见解析

【分析】(1)根据导数讨论单调性即可；

(2)根据导数与单调性和极值的关系得到，即可证明.

【详解】（1），

当时，得解得，得解得，

所以在单调递减，单调递增；

当时，得解得，得解得，

所以在单调递增，单调递减；

（2）因为，

由（1）知，当时，单调递增，

所以，即，

设，，

由得解得，

由得解得，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，

从而恒成立，即恒成立.

【题型专练】

1．已知函数．

(1)若在上恒成立，求实数a的值；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)；(2)证明过程见详解

【分析】(1)分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；

(2)结合（1）的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明.

【详解】（1）当时，，当时，，不符合题意；

当时，，又时，，不符合题意；

当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，

则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.

（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，

所以当时，，即，又当时，，

所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，

所以当时，.

【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调