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2023-2024学年上海市长宁青浦宝山嘉定四区高三下学期第五次调研考试数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（）

A． B．

C． D．

2．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（）

A． B． C． D．

4．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）

A． B． C． D．

5．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．已知i是虚数单位，则1+ii

A．-12+32i

7．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（）

A． B．5 C． D．9

8．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）

A．0 B．2 C．4 D．1

9．的二项展开式中，的系数是（）

A．70 B．-70 C．28 D．-28

10．已知，则（）

A． B． C． D．2

11．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A． B． C．2 D．

12．已知向量，是单位向量，若，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.

14．已知数列满足,且,则______.

15．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．

16．已知函数为奇函数，则______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设为等差数列的前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．

18．（12分）已知函数，

（Ⅰ）当时，证明；

（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．

19．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.

20．（12分）已知函数，函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

21．（12分）已知，，函数的最小值为.

（1）求证：；

（2）若恒成立，求实数的最大值.

22．（10分）已知函数.

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.

（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

∵在R上单调递增，且，∴.

∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，

对A，当时，，故A错误；

对C，当时，，故C错误；

对D，当时，，故D错误；

对B，对，则，故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

2、A

【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．

【详解】

作出函数的图象如图，

由图可知，，

函数有2个零点，即有两个不同的根，

也就是与在上有2个交点，则的最小值为；

设过原点的直