北京市东城区汇文中学2024届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.docVIP

北京市东城区汇文中学2024届高三第二次诊断性检测数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则等于（）

A． B． C． D．

3．设全集，集合，，则（）

A． B． C． D．

4．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）

A． B．

C． D．

6．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）

A．-5 B．2 C．7 D．11

7．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）

A． B． C． D．

8．已知是边长为的正三角形，若，则

A． B．

C． D．

9．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）

A． B．或 C． D．

10．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()

A． B． C． D．

11．函数的图象可能是（）

A． B． C． D．

12．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）

A．B．C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数满足，则的最大值为________.

14．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）

15．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.

16．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn．

18．（12分）如图，在四边形中，，，.

（1）求的长；

（2）若的面积为6，求的值.

19．（12分）已知数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：．

20．（12分）函数，且恒成立.

（1）求实数的集合；

（2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.

（参考数据：）

21．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值

22．（10分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.

【详解】

由双曲线，

则渐近线方程：，

，

连接，则，解得，

所以，解得.

故双曲线方程为.

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.

2、A

【解析】

进行交集的运算即可．

【详解】

，1，2，，，

，1，．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

3、B

【解析】

可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．

【详解】

，，则，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

4、C

【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．

【详解】

①当时，，满足题意，

②当时，，，，，故不恒成立，

③当时，设，，

令，得，，得，

下面考查方程的解的个数，