高中数学第一章立体几何初步62垂直关系的性质省公开课一等奖新课获奖课件.pptx

6.2垂直关系性质

第一章§6垂直关系

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学习目标

1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直性质定理.

2.能利用性质定理处理一些简单问题.

3.了解直线与平面、平面与平面垂直判定定理和性质定理间相互联络.

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问题导学

达标检测

题型探究

内容索引

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问题导学

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知识点一直线与平面垂直性质定理

思索在日常生活中常见到一排排和地面垂直电线杆.一排电线杆中每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间位置关系是什么？

答案平行.

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梳理性质定理

平行

文字语言

假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_____

符号语言

⇒a∥b

图形语言

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知识点二平面与平面垂直性质

思索黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

答案轻易发觉墙壁与墙壁所在平面交线与地面垂直，所以只要在黑板上画出一条与这条交线平行直线，则所画直线必与地面垂直.

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文字语言

假如两个平面相互垂直，那么在垂直于它们

直线于另一个平面

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，，⇒a⊥β

图形语言

梳理性质定理

垂直

一个平面内

交线

aα

a⊥l

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[思索辨析判断正误]

1.若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.()

2.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.()

×

×

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题型探究

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例1如图所表示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.

类型一线面垂直性质及应用

证实

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证实如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理BD1⊥B1C，

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，

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∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，

∴EF∥BD1.

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反思与感悟证实线线平行惯用方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

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跟踪训练1如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，

aα，a⊥AB.求证：a∥l.

证实

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证实∵PA⊥α，lα，

∴PA⊥l.

同理PB⊥l.

∵PA∩PB＝P，

∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，aα，

∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，

∴a⊥平面PAB.

∴a∥l.

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类型二面面垂直性质及应用

例2如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.

证实

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证实如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，

AD平面PAB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC平面PBC，

∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，

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又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB，

∴BC⊥平面PAB.

又AB平面PAB，

∴BC⊥AB.

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反思感悟证实线面垂直，一个方法是利用线面垂直判定定理，另一个方法是利用面面垂直性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直性质定理.利用面面垂直性质定理证实线面垂直问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们交线.

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跟踪训练2如图所表示，P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD中点.

求证：(1)BG⊥平面PAD；

证实

证实∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，又G为AD中点，

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，

∴BG⊥平面PAD.

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(2)AD⊥PB.

证实

证实由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD中点，

∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，