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高三数学复习专题平面向量

一、考点透视

本章考试内容及要求：

平面向量的有关概念B级

平面向量的线性运算〔即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积〕C级

平面向量的数量积C级〔老教材为D级〕

向量的坐标表示C级

向量运算的坐标表示C级

平行向量及垂直向量的坐标关系C级

向量的度量计算C级

注：

B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行表达和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。

C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

二、复习要求

1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；

2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；

3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；

4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。

概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量根本形式〔3种〕及根本运算〔4种〕，关注向量简单应用。

三、复习建议

向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学开展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量根本知识的掌握和运用，难度不要拔高。

四、知识要点

1．平面向量的有关概念

〔1〕平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB表示向量。以A为始点，B为终点的向量，记作，也可用加黑的小写字母a表示。向量的大小，也就是的模(或称长度)，记作。

〔2〕零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。

〔3〕单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a的单位向量是指与向量a方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作，。

〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

〔5〕平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，假设向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。

〔6〕负向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的负向量。

2．向量的运算

(1)向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

①加法法那么

aaa+bb

a

a

a+b

b

b

a+b

图6—1

图6—2

平行四边形法那么(见图6—2)。

②运算性质：a+b=b+a

〔a+b〕+c=a+〔b+c〕

a+0=0+a=a

③坐标运算：

baa-b图6—3设a=〔x1，y1〕，b=〔x2，y2)，那么a+b=〔x1+x2，y

b

a

a-b

图6—3

〔2〕向量的减法求两个向量差的运算叫做向量的减法。

①减法法那么

三角形法那么(见图6—3)

②坐标运算：

a=〔x1，y1〕，b=〔x2，y2)，那么a-b=〔x1—x2，y1—y2〕。

设A、B两点的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2)，

那么=〔x1—x2，y1—y2〕。

〔3〕实数与向量的积

①定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：当其中，λa与a同向，|λa|=|||a|；

当0时，λa与a反向，|λa|=|||a|；

当λ=0时，λa=0。

②运算律：

a〕=〔〕a，

〔〕a=a+a，

〔a+b〕=a+b。

③坐标运算：

设a=〔x，y〕，那么a=〔x，y〕=〔x，y〕。

(4)平面向量的数量积

①定义：a·b=|a||b|coa，〔a0，b0，。规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0。

重要性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，那么

e