考点42 三定问题与最值（解析版）.docx

考点42三定问题与最值

一．定值问题

(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

二．定点问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．

三．范围、最值问题

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

1.求范围问题要注意变量自身的范围．

2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．

3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．

4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法．

考点一定点

【例1】（2021·辽宁·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，点

(1)求点M的坐标及C的方程；

(2)设动直线l与C相交于A,B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线

【答案】(1)M的坐标为4,4，C的方程为y2

(2)直线l过定点0,-4.

【解析】(1)抛物线C:y2=2px的准线：x

而点M在C上，即16=4p2，解得p=±2，又p

所以M的坐标为4,4，C的方程为y2

(2)设Ax1,y1

由x=my+ny2=4x消去x并整理得：

因此，kMA

化简得y1y2+4y1+y2=0，即n=4m，代入l方程得

【变式训练】

1．（2022·全国·高三专题练习）过点D(0,2)的任一直线l与抛物线C:x2=2

(1)求p的值．

(2)已知M,N为抛物线C上的两点，分别过M,N作抛物线C的切线l1

【答案】(1)p=2(2)

【解析】(1)设A(x1,y

整理可得x2-2

所以，OA?OB

(2)抛物线C的方程为x2=4y，即y

设M(x3,y3),N(

因为l1⊥l2，所以k1

从而直线MN的方程为：y-y3=x

所以，直线MN恒过定点(0,1)．

2．（2021·全国全国·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l（斜率存在）与椭圆C交于A，B两点，且直线FA，FB关于x轴对称，试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)x

(2)直线AB过定点，且定点的坐标为2,0

【解析】(1)由题Fc,0与上顶点0,b的连线与直线y=x

因为F到直线y=x+2的距离为322

所以b=1，a=2，所以椭圆C

(2)由（1）得F1,0，设Ax1

当直线AB的斜率不为0时，设直线的方程为x=

将其代入x22+

由Δ=2mn2-4m

因为直线FA，FB关于x轴对称，所以kFA+

即y1

因为m≠0，所以n=2，直线AB:

当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y=0，显然过点2,0

故直线AB过定点，且定点的坐标为2,0．

考点二定值

【例3】（2021·云南昆明）已知点M(x0,2)在抛物线C:y2

(1)求抛物线C的方程及x0

(2)经过点(2,-2)的直线l与C交于A，B两点，且A，B异于点M，若直线MA与MB的斜率存在且不为零，证明：直线MA与MB的斜率之积为定值．

【答案】(1)y2=4x，

【解析】(1)由题知：{4=2px0x0

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x=2

联立{x=2y2=4

kMA=2

则kMA

当直线l的斜率存在时，设直线l为y+2=k(x-

则：kMA=y

联立{y+2=

因为Δ=2(k+1

所以y1

所以y1

所以直线MA与MB的斜率之积为定值-4

【变式训练】

1．（2021·河北邯郸·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-3,0，F23,0，点M

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l不经过P0,1点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点1,-1，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值

【答案】(1)x24+y

【解析】(1