2025高考数学专项讲义第15讲圆锥曲线中的最值及范围问题(学生版+解析).docxVIP

第15讲圆锥曲线中的最值及范围问题

（8类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第11题,6分

纵坐标的最值问题

由方程研究曲线的性质

求平面轨迹方程

2023年新I卷，第22题,12分

周长最值问题

求平面轨迹方程

由导数求函数的最值(不含参)

基本(均值)不等式的应用

求直线与抛物线相交所得弦的弦长

2020年新Ⅱ卷，第21题,12分

求椭圆中的最值问题

根据椭圆过的点求标准方程

求椭圆的切线方程

椭圆中三角形(四边形)的面积

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的最值问题及其相关计算

2.理解、掌握圆锥曲线的范围问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会运算，需强化训练复习

考点一、弦长及周长类最值

1．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（????）

A． B． C． D．2

2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求的最小值．

3．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.

(1)求椭圆的方程；

(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.

4．（21-22高三上·江苏南通·开学考试）已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．

(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；

(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．

5．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆上任意一点，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.

(1)求曲线H的方程;

(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.

(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；

(ii)求的取值范围.

1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点P为该椭圆上一点，且△F1PF2的面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.

2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．

(1)求的方程；

(2)若的面积为，求的方程；

(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．

3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．

(1)求C的方程；

(2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．

4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左?右焦点分别为，上?下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.

考点二、面积类最值

1．（2020·新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)过的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点和两点，设的中点分别为，求面积的最大值．

3．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线．

(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；

(2)当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．

4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左?右焦点分别为，离心率为，且经过点.

(1)求的方程；

(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.

1．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，，，为直线上关于轴对称的两个动点，直线，与的另一个交点分别为，.

(1)求的标准方程；

(2)为坐标原点，求面积的最大值.

2．（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的离心率为；