13.2.4 平面与平面的位置关系（十一大题型）（原卷版）.docx

13.2.4平面与平面的位置关系

【题型归纳目录】

题型一：平面与平面的位置关系

题型二：平面与平面平行的判定定理的理解

题型三：平面与平面平行的判定

题型四：补全平面与平面平行的条件

题型五：平面与平面平行的性质

题型六：由面面平行证线面平行

题型七：面面垂直的概念与定理的理解

题型八：面面垂直判定定理的应用

题型九：求二面角

题型十：平面与平面垂直的性质定理的应用

题型十一：平行、垂直的综合应用

【知识点梳理】

知识点一、平面与平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

公共点

两平面平行

无公共点

两平面相交

有无数个公共点，这些点在一条直线上

知识点二、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

图形语言：

符号语言：若、，，且、，则．

知识点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．

知识点三、判定平面与平面平行的常用方法

1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．

2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．

3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．

知识点四、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

符号语言：若，，，则．

图形语言：

知识点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

知识点五、空间平行关系的注意事项

直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．

知识点六：二面角

（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或．

（2）二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

知识点七：平面与平面垂直的定义与判定

1、平面与平面垂直定义

定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直．

表示方法：平面与垂直，记作．

画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图：

2、平面与平面垂直的判定定理

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直面面垂直

知识点诠释：

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可．

知识点八：平面与平面垂直的性质

1、性质定理

文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

符号语言：

图形语言：

知识点诠释：

面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．

2、平面与平面垂直性质定理的推论

如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

知识点九：垂直关系的综合转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

知识点十：作二面角的三种常用方法

（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角．

（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角．

（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．

【典型例题】

题型一：平面与平面的位置关系

【方法技巧与总结】（平面与平面位置关系的解题思