14.4 用样本估计总体（六大题型）（原卷版）.docx

14.4用样本估计总体

【题型归纳目录】

题型一：百分位数在具体数据中的应用

题型二：百分位数在统计表或统计图中的应用

题型三：平均数、中位数、众数在具体数据中的应用

题型四：在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数

题型五：标准差与方差的应用

题型六：用样本平均数和样本标准差估计总体

【知识点梳理】

1、第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．

2、计算第百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据．

第2步：计算．

第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数．

3、四分位数

常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．

4、众数、中位数、平均数定义

（1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

（2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数．

（3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数．

5、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

6、方差、标准差的定义

一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为．

7、总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为．

8、样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．

9、方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

【典型例题】

题型一：百分位数在具体数据中的应用

【方法技巧与总结】（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．

例1．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）有一笔统计资料，共有10个数据如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的分位数为（????）

A．92 B．95 C．95.5 D．96

例2．（2023·山东东营·高一统考期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大小关系为（????）

A． B．

C． D．

例3．（2023·全国·高一专题练习）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（????）

A．12 B．12.5 C．13 D．13.5

变式1．（2023·全国·高一专题练习）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（????）

A．169 B．170 C．171 D．172

题型二：百分位数在统计表或统计图中的应用

【方法技巧与总结】（频率直方图计算百分位数的规律）

求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．

例4．（2023·全国·高一专题练习）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（????）

A．55 B．57.25 C．58.75 D．60

例5．（2023·全国·高一专题练习）某班60名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中