核心考点06数列（解析版）.docx

核心考点06数列

目录

一．数列的概念及简单表示法（共2小题）

二．数列的函数特性（共2小题）

三．等差数列的性质（共4小题）

四．等差数列的通项公式（共6小题）

五．等差数列的前n项和（共5小题）

六．等比数列的性质（共2小题）

七．等比数列的通项公式（共6小题）

八．等比数列的前n项和（共3小题）

九．数列的极限（共4小题）

十．数学归纳法（共2小题）

考点考向

考点考向

一．数列的概念及简单表示法

【知识点的认识】

1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．

2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．

3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；

按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；

4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的

通项公式．

几个认识：

（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．

（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．

5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

二．数列的函数特性

【知识点的认识】

1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝

2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn＝＝（q≠1）

3、用函数的观点理解等差数列、等比数列

（1）对于等差数列，

an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．

若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．

（2）对于等比数列：

an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．

当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；

当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．

当q＝1时，是一个常数列．

当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．

三．等差数列的性质

【等差数列】

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

【等差数列的性质】

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；

（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；

（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；

（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有

as+at＝2ap；

（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．

（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．

（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，

2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）

（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

四．等差数列的通项公式

【知识点的认识】

等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．

五．等差数列的前n项和

【知识点的认识】

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的