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角分线分线段成比例证明

角平分线分线段成比例定理是三角形几何中的一个重要定理，该定理指出：三角形内角平分线分对边所成的两条线段和这个角的两边对应成比例。即若在△ABC中，AD是角A的角平分线，D在BC上，则有AB/AC=BD/DC，其中BD和DC是角平分线AD将边BC分成的两段。

方法一：利用面积法

分别过点A、点D作BC、AB、AC的垂线，垂足为点F、E、G。

由于△ABD和△ADC有公共高AF，所以△ABD的面积与△ADC的面积之比等于BD与DC之比。

又因为AD平分∠BAC，所以DE=DG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

因此，△ABD的面积与△ADC的面积之比又等于AB与AC之比。

所以，AB/AC=BD/DC。

方法二：构造相似三角形

在△AEB和△CED中，由于∠EAD=∠CAD（因为AD是角A的平分线），且∠AED=∠CED=90°（因为它们是直角三角形中的直角）。

根据相似三角形的判定条件，可以得出△AEB∽△CED。

由于相似三角形的对应边成比例，因此可以得出AB/AC=BD/DC。

方法三：构造平行线（方法一：构造“8”字型）

过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E。

由于AD平分∠BAC及AB∥CE，可以推出AC=CE。

再根据AB∥CE，可以得到BD/DC=AB/CE。

最后进行等量代换，将CE替换为AC，即可证明AB/AC=BD/DC。

方法四：构造平行线（方法二：构造“A”字型）

过点C作AD的平行线，交BA的延长线于点E。

由于AD平分∠BAC及AD∥CE，可以推出AC=AE。

再根据AD∥CE，可以得到BD/DC=AB/AE。

最后进行等量代换，将AE替换为AC，即可证明AB/AC=BD/DC。

角平分线分线段成比例定理可以通过多种方法进行证明。这些证明方法不仅展示了数学定理的严谨性，也体现了数学思维的灵活性和多样性。