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2024年二重积分计算方法

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直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干X型或*型区域，然后利用公式

(3)

进行计算，

例2计算二重积分jjt/cr,其中O为直线y=2x,x=2y及x+y=3所围成的区域.

分析：积分区域。如图5所示，区域。既不是x型区域也不是*型区域，但是将可。划分为

D,=^(x,v)0x1,—y2x

I2J均为、型区域，进而通过公式(3)和(1)可进行计算.

D2=((x,v)|1x3,2yy3-x^

解。划分为

D[=(xj)0xl,yy2x

D2={(x,.y)1x3,2jy3-x}

+3x—^-x23

2

1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算

二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限,

但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算.

例3计算二重积分囱八/，,其中。为区域xl,Qy2.

D

分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二

次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为

x2v20Vx2

D}=\一*一，D2={一*一两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以

化为基本函数，其原函数很容易求得.

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2024年二重积分计算方法

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解区域。如图6可分为DUQ，其中

x2y20vx2

0=。2=

由公式(3)则

JJ^y-x2^dxdy=jjyjy-x2dxdy+jjy]x2-ydxdy

DDy

=［竦77田+J：火J；序=

2利用变量变换法计算

定理1设f(x,y)在有界区域。上可积，变换T:x=x(t/,v),y=y(i/,y),将以,v平面