函数逼近的插值法3省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

4.4三次样条插值前面我们依据区间[a,b]上给出节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。普通总认为Ln(x)次数越高，迫近f(x)精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。所以高次插值普通要慎用，实际上较多采取分段低次插值。第1页

4.4.1分段插值第2页

分段线性插值第3页

分段线性插值第4页

分段线性插值第5页

缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第6页

分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，假如交通工具用这么外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，所以用hermite分段插值更加好。第7页

分段三次Hermite插值第8页

分段三次Hermite插值算法第9页

例题第10页

例题第11页

4.4.2三次样条插值第12页

三次样条插值第13页

三次样条插值第14页

三次样条插值第15页

三次样条插值第16页

三次样条插值第17页

三次样条插值第18页

三次样条插值第19页

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三次样条插值第21页

三次样条插值第22页

三次样条插值第23页

三次样条插值第24页

例题例4.4.1已知函数y=f(x)数表以下表所表示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第25页

解做差商表(P111),因为是等距离节点,第26页

由第二类边界条件得第27页

解方程得将Mi代入式4.4.14)得第28页

因为故第29页

4．5曲线拟和最小二乘法插值法是用多项式近似表示函数,并要求在他们一些点处值相拟合.一样也能够用级数部分和作为函数近似表示式.不论用那种近似表示式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最正确迫近讨论.第30页

4.5.1最正确平方迫近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上内积.其中为区间[a,b]上权函数,且满足下面两个条件:第31页

轻易验证,上述定义函数内积满足普通内积概念中四条基本性质.第32页

内积性质第33页

函数欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)欧几里得范数,或2范数.第34页

函数欧几里得范数性质第35页

线性相关函数系定义4.5.3设函数,假如存在一组不全为零数使成立,则称函数系是线性相关,不然称是线性无关.第36页

线性相关函数系判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关充分必要条件是Gramer行列式第37页

不难证实在R上线性无关.定理4.5.1等价说法是:函数系线性无关充分必要条件是Gramer行列式.第38页

最正确平方迫近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数空C[a,b]子空间,假如存在元素满足第39页

则称为f(x)在上最正确平方迫近函数.且其中是法方程唯一一组解.第40页

令则误差为第41页

特例取则法方程为其中第42页

例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上一次最正确平方迫近多项式.解设因为第43页

故法方程为解得第44页

平方误差为第45页

4.5.2对离散数据曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提升精度,就要增加节点,所以多项式次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式次数低,但误差精度不能确保,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第46页

在科学试验中,得到函数y=f(x)一组试验数据:,求曲线与试验数据误差在某种度量意义下最小.第47页