高三数学复习第八章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质文省公开课一等奖新课获奖课件.pptx

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第五节直线、平面垂直判定与性质

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1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直定义

直线l与平面α内①任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α相互

垂直.

(2)直线与平面垂直判定定理及性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

一条直线与一个平面内

②两条相交直线

都垂直,

则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性质

定理

垂直于同一个平面两条直线⑦平行

⇒a∥b

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2.直线与平面所成角

(1)定义:平面一条斜线和它在这个平面内射影所成 锐角

,

叫做这条直线和这个平面所成角.一条直线垂直于平面,就说它们所

成角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成角是

0°角.如图所表示, ∠PAO

就是斜线AP与平面α所成角.

(2)线面角θ范围:θ∈ 

.

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3.二面角相关概念

(1)二面角:从一条直线出发 两个半平面

所组成图形叫做二

面角.

(2)二面角平面角:以二面角棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作 垂直于棱

两条射线,这两条射线所成角叫做二面角

平面角.

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4.平面与平面垂直判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

一个平面过另一个平面一条垂线

,则这两个平面相互垂直

⇒α⊥β

性质

定理

两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们

交线

直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

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1.给出以下四个命题:

①垂直于同一直线两个平面相互平行;

②垂直于同一平面两个平面相互平行;

③若一个平面内有没有数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相

互平行;

④若一条直线垂直于一个平面内任意一条直线,那么这条直线垂直于

这个平面.

其中真命题个数是 ()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案

B①④正确.

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2.设a,b是两条不一样直线,α,β是两个不一样平面,则能得出a⊥b是 

()

A.a⊥α,b∥β,α⊥β

B.a⊥α,b⊥β,α∥β

C.a⊂α,b⊥β,α∥β

D.a⊂α,b∥β,α⊥β

答案

C对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又由b⊥β,得a⊥b.故选C.

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3.PD垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则

一定相互垂直平面有 ()

A.8对

B.7对

C.6对

D.5对

答案

B因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,

故平面PAD⊥平面ABCD,

平面PDB⊥平面ABCD,

平面PDC⊥平面ABCD,

平面PDA⊥平面PDC,

平面PAC⊥平面PDB,

平面PAB⊥平面PAD,

平面PBC⊥平面PDC,共7对.

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4.如图所表示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面

ABC上射影H必在 ()

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

答案

A连接AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,

又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1,

又AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1.

∵平面ABC1∩平面ABC=AB,

∴点C1在平面ABC上射影H必在两平面交线AB上,故选A.

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考点一直线与平面垂直判定与性质

典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC中点.

(1)证实:CD⊥AE;

(2)证实:PD⊥平面ABE.

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证实(1)在四棱锥P-ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.

(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.

∵E是PC中点,∴AE⊥PC.

由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内射影是AD,

又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.

又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

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方法技巧

(1)证实直线和平面垂直惯用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直

性质.

(2)证实线面垂直关键是