高中数学提升考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5类常见考点全归纳（精选122题）（原卷版）.docxVIP

考点08函数的奇偶性、周期性和对称性5类常见考点全归纳

(精选122题）

考点一函数的奇偶性及其应用

（一）函数奇偶性的判断

（二）抽象函数的奇偶性

（三）函数奇偶性的应用

（1）已知函数的奇偶性求函数值

（2）局部奇偶函数

（3）已知函数的奇偶性求解析式

（4）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值

（5）应用奇偶性画函数图象

（6）利用函数的奇偶性求最值

考点二函数的周期性及其应用

（一）由函数周期性求值

（二）由函数周期性求解析式

考点三类周期函数

考点四函数的对称性及其应用

（一）由函数对称性求解析式

（二）由函数对称性求函数值或参数

考点五函数性质的综合应用

（一）函数的单调性与奇偶性结合

（二）函数的奇偶性与周期性结合

（三）函数的单调性与对称性结合

（四）函数单调性、奇偶性和周期性结合

（五）函数单调性、奇偶性和对称性结合

（六）函数奇偶性、周期性和对称性结合

（七）函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性结合

知识点1函数的奇偶性

偶函数

奇函数

定义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

图象

特征

关于y轴对称

关于原点对称

注：

①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x)

②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x)

③判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

④常用的两个等价关系

①f(x＋a)为偶函数?f(－x＋a)＝f(x＋a)?f(x)的图象关于直线x＝a对称.

②f(x＋a)为奇函数?f(－x＋a)＝－f(x＋a)?f(x)的图象关于点(a，0)对称.

⑤由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．

⑥对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

(i)f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.

⑦奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）

若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.

⑧若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.

⑨利用性质法来判断奇偶性(共同定义域上)

（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：

奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；偶函数奇函数=非奇非偶函数

记忆口诀：加减看自身

奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数奇函数

；

记忆口诀：乘除看正负

（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）

⑩复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

知识点2函数的周期性

1．周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

知识点3函数对称性（异号对称）

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

①；

②；

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

归纳拓展

1．奇(偶)函数定义的等价形式

(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝1(f(x)≠0)?f(x)为偶函数；

(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝－1(f(x)≠0)?f(x)为奇函数．

2．若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内

(1)y＝f(x)±g(x)为奇函数；

(2)y＝f(x)g(x)与y＝eq\f(f?x?,g?x?)为偶函数；

(3)y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]为奇函数．

同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝eq\f(f?x?,g?x?)，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数．

若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝eq\f(f?x?,g?x?)均为奇函数，y＝f[g(x)]与y＝g[