浙江专升本高数课件习题解析 1-5无穷大量与无穷小量.pdf

第五节无穷小与无穷大

n一、无穷小

n二、无穷大

n三、无穷小与无穷大的关系

n四、小结

一、无穷小

1.定义:极限为零的变量称为无穷小.



定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),

总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式

xXx

0xx0(或)的一切,对应的函数值

f(x)都满足不等式,

f(x)

f(x)xxx

那末称函数当0(或)时为无穷小,

记作

lim()0f(xlim()0).fx或

xxx0

例如,

x

limsin0,

sin0函x数.x是当时的无穷小

x0

11

lim0,函数是当x时的无穷小.

xx

x

n

(1)(1)n

lim0,

}数列{.是当n时的无穷小

nnn

注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;

2.零是可以作为无穷小的唯一的数.

2.无穷小与函数极限的关系:

lim()fxA()fxA(),x

定理1

xx0

()xxx

其中是当0时的无穷小.

证必要性

lim()设fx,A

()x(f)令x,A

xx0