新高考数学二轮复习核心专题讲练第2讲 计数原理(原卷版）.docVIP

第2讲计数原理

目录

第一部分：知识强化

第二部分：重难点题型突破

突破一：两个计数原理的综合应用

突破二：排列，组合综合应用

突破三：二项式定理

突破四：二项式系数

突破五：项的系数

突破六：杨辉三角形

第三部分：冲刺重难点特训

第一部分：知识强化

1、分类加法计数原理

（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

2、分步乘法计数原理

（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.

3、排列数与排列数公式

（1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.

（2）排列数公式

①（连乘形式）：，，

②（阶乘形式），，

（3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示.

（4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示.

4、组合数与组合数公式

（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.

（2）组合数公式

或：（，）.

规定：

5、组合数的性质

（1）性质1：

（2）性质2：

6、二项式定理及相关概念

（1）二项式定理

一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.

（4）二项式定理的三种常见变形

①

②

③

7、二项展开式的通项

二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.

8、二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；

③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

④各二项式系数和：；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

第二部分：重难点题型突破

突破一：两个计数原理的综合应用

1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（????）

A．288 B．336 C．368 D．412

2．（2022·全国·高三专题练习）有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（????）

A． B． C． D．

3．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个

4．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是___________.

5．（2022·全国·高二课时练习）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．

6．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.

7．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为______

8．（2022